목차
1. 개요
2. 설명
3. 기하학적 의미
4. 행렬식으로 선형독립 판별
5. 론스키안
1.개요
선형독립(일차독립)은 선형대수학의 핵심적인 개념인 기저(basis)를 이해하기 위해서 필수적으로 알아둬야할 개념이다.
즉, 선형독립이 아닌 나머지 선형결합을 선형종속(일차종속)이라고 한다.
2.설명
만약 어떤 벡터공간을 예로 들어보자 이 공간에서 벡터 몇개를 선택해 선형결합을 하면 공간 안에 속해 있는 다른 벡터가 나온다는 것은 익히 알고 있는 사실이다. 그리고 아래의 정리를 보자.
여기서 정리 2를 해석해보면
즉, 정리 1에 따르면 어떤 벡터공간을 생성하기 위해 불필요한 벡터를 정리 할 수 있다는 것이 정리 1의 설명이고 정리2는 그 불필요한 벡터를 찾는 방법에 관한 설명이다. 예로 유클리드 2차원 공간을 들면 이 공간에서 임의의 벡터를 뽑자 여기서는 A=(2,5) 와 B=(5,3)이라고 한다면 이 두 벡터의 선형결합으로 나타내어 영벡터가 나오는 경우는 오직 곱해진 두 스칼라의 값이 0인 경우 뿐일 것이다. 이것은 달리 말하면 두 벡터에 적절한 스칼라 값을 곱하여 같은 벡터로 만들 수 없다는 것이 된다. 하지만 A=(1,1)과 B=(2,2)라면 스칼라의 값이 둘다 0일 때도 성립하지만 2와 -1일 때도 성립한다.
여기서 정리 2를 해석해보면
즉, 정리 1에 따르면 어떤 벡터공간을 생성하기 위해 불필요한 벡터를 정리 할 수 있다는 것이 정리 1의 설명이고 정리2는 그 불필요한 벡터를 찾는 방법에 관한 설명이다. 예로 유클리드 2차원 공간을 들면 이 공간에서 임의의 벡터를 뽑자 여기서는 A=(2,5) 와 B=(5,3)이라고 한다면 이 두 벡터의 선형결합으로 나타내어 영벡터가 나오는 경우는 오직 곱해진 두 스칼라의 값이 0인 경우 뿐일 것이다. 이것은 달리 말하면 두 벡터에 적절한 스칼라 값을 곱하여 같은 벡터로 만들 수 없다는 것이 된다. 하지만 A=(1,1)과 B=(2,2)라면 스칼라의 값이 둘다 0일 때도 성립하지만 2와 -1일 때도 성립한다.
3. 기하학적 의미
선형종속의 경우는 다음과 같이 표현된다.
위와 같이 표현되는 이유는 곰곰히 생각해보면 쉽다. 선형결합에서 모든 스칼라 값이 0이 아니면서도 0이 나온다면 적어도 0이 아닌 스칼라 값을 가진 2개의 벡터가 있을 것이다.(벡터 한개로는 0이 아닌 스칼라값으로 영백터가 나올 수 없다.) 따라서 둘 중 하나는 다른 하나의 스칼라 배가 되야 0이 나올 수 있으므로 필연적으로 선형종속 벡터는 스칼라 배의 관계이다.
4. 행렬식으로 선형독립 판별
이 때쯤 감이 좋은 독자는 선형독립을 판별하는데 가장 빠른 해법을 알고 있을 것이다. 그것은 바로 벡터들을 정사각행렬로 만든 다음 정칙행렬인지를 판단하면 되는 것이다. 만약 정칙행렬이 아니라면 그 행렬식의 값은 0이 나올 것이다.
5. 론스키안
더욱 더 감이 좋은 똑똑한 독자는 이제까지 이 문서에서 유클리드 공간밖에 다루지 않았다는 것을 알고 있을 것이다. 그렇다면 다른 벡터공간에 대해서는 어떨까?
론스키안은 함수로 이루어진 벡터공간에 관해서 그 함수들이 선형독립인지 판별할 수 있는 도구이다.
기본적으로 증명을 하는데 미분을 알아야한다.
론스키안은 함수로 이루어진 벡터공간에 관해서 그 함수들이 선형독립인지 판별할 수 있는 도구이다.
참고로 밑에서 n-1차 함수에서 n개의
함수가 나오는 이유는 n이 1일 때 n=0 즉 상수 함수가 나오기 때문이다.
