목차
1. 개요
2. 벡터공간 예제
2.1 선형결합
3. 부분공간
3.1. 생성
4.기저와 차원
1.개요
벡터공간이란 주어진 체에 대하여 집합 V가 합과 스칼라 곱의 두 연산에 대하여 닫혀 있으면 V를 벡터공간이라 한다. 더욱 자세히는 아래 1. 과 2. 를 만족하는 집합을 말한다. 여기서 체(field)란 실수 또는 복소수라고 생각하는 것이 이해하기 편하다. 또한 여기서 벡터는 단순히 유클리드 공간에 나타내어지는 순서쌍이 아니다 물론 그것도 중요하지만 벡터란것은 훨씬 다양하다. 여러 벡터들의 종류는 아래 예제에서 보자.
요컨데 그 공간안에 있는 벡터가 합과 스칼라 곱에 대해서 닫혀있으면 되는 것이다.
2.벡터공간 예제
아래 예제들은 많이 쓰이는 벡터 공간들의 예제이다.
아래 벡터공간의 표기는 선형대수학을 공부하면서 자주쓰이니 외워두는것이 좋다.
아래 벡터공간의 표기는 선형대수학을 공부하면서 자주쓰이니 외워두는것이 좋다.
2.1.선형결합
선형결합(일차결합)은 벡터 공간의 스칼라 곱과 벡터 합 연산을 일반화한 연산이다.
3. 부분공간
S가 벡터공간 V의 부분집합이라
하자. 이때 S가 다시 위의 벡터공간의 정의를 만족하면 S를 V의 부분공간(subspace)이라
한다. 부분공간의 표기는 S<V 등으로 표시한다.
다음은 부분공간의 예제이다.
다음은 부분공간의 예제이다.
3.1.생성
이쯤되면 벡터공간의 조건을 만족하는 벡터들의 집합이 바로 벡터공간인것을 알았다. 여기서 생각을 역발상을 하여 벡터공간을 미리 설정해두고 그 안에 있는 벡터를 생각하는게 아니라 특정 공간의 벡터를 모아서 벡터공간을 만들어보는것은 어떨까? 라는 아이디어에서 생성이 나왔다.
아래 예제를 보자
4. 기저와 차원
이 부분은 선형독립 문서를 필수적으로 읽고 와야합니다.
눈치가 빠른 독자는 생성에서 벡터를 모으면 벡터들의 벡터공간을 생성할 수 있는데 의문이 들 수 있다. 예를 들어 v1=(1,0), v2=(0,1), v3=(1,1)에서 span{v1,v2,v3}=R^2 이지만 span{v1,v2}=R^2 다. 즉 처음 생성할 때는 3개 벡터 모두를 써서 2차원 유클리드 공간을 생성했지만 두번째는 2개의 벡터만 써서 만든 것이다. 이렇게 어떤 벡터공간을 생성할 때 최소 벡터 집합을 기저(basis)라고 한다.
특별히 유클리드 공간에 대해서는 표준기저(standard basis)라는게 있는데 다음과 같이 표기한다.
이것은 마치 드래곤볼을 모으는 것과 같다. 신룡을 소환하려면 7개의 구슬을 꼭 모아야하는 것이다. 여기서 중요한것은 일성구와 이성구를 이용해서 칠성구를 만들 수 없듯이 모두 독립적이여야한다는 이야기이다.
눈치가 빠른 독자는 생성에서 벡터를 모으면 벡터들의 벡터공간을 생성할 수 있는데 의문이 들 수 있다. 예를 들어 v1=(1,0), v2=(0,1), v3=(1,1)에서 span{v1,v2,v3}=R^2 이지만 span{v1,v2}=R^2 다. 즉 처음 생성할 때는 3개 벡터 모두를 써서 2차원 유클리드 공간을 생성했지만 두번째는 2개의 벡터만 써서 만든 것이다. 이렇게 어떤 벡터공간을 생성할 때 최소 벡터 집합을 기저(basis)라고 한다.
특별히 유클리드 공간에 대해서는 표준기저(standard basis)라는게 있는데 다음과 같이 표기한다.
