목차
1. 개요
2. 가우스 소거법
1. 개요
연립 방정식을 행렬로 바꿔 연립 방정식의 해의 여부를 추정하고 구할 수 있다. 연립 방정식을 풀었던 중학교 시절을 떠올려보자.
여기서 어떻게 저 미지수를 구할 수 있을까? 그래프를 그려 찾던지 구하고자하는 미지수의 계수에 맞춰 빼주던지 등이 있지만 여기서는 미지수의 계수에 맞춰 빼주는 것을 유심히 보도록 하자
이제 여기서 위 식을 이렇게도 쓸 수 있다.
이렇게 사용하면 바로 x2의 값을 알 수 있으며 그 x2의 값을 이용하여 x1의 값도 구할 수 있다.
예를 하나 더 들어 일차 방정식이 3개인 연립 방정식을 보자
이번엔 미지수가 3개나 있다.
이런 문제를 풀때 중학교 교과과정에서는 어떻게 풀었는지 생각해보자
중학교 교과과정에서는
R1-R2를 이용하여 하나의 미지수를 소거
R2-R3를 이용하여 하나의 미지수를 소거
R1-R3를 이용하여 하나의 미지수를 소거
그런데 위 방법은 미지수를 하나씩만 소거할 수 있기에 번거롭게 계산을 해야한다.
그러면 이렇게 계산해보는 것은 어떨까?
일단 R2의 식과 R3의 식에서 x1을 없애고
두번째와 세번째 식을 이용해서 세번째 식에서 x2를 없애면 x3에 대한 값이 나온다. 그러면 x3를 2번째 식에다 넣으면 x2값이 나오고 x2와 x3 값을 첫번째 식에 넣으면 x1의 값이 나온다. 이런 연립방정식을 삼각 연립방정식이라 한다. 삼각 연립방정식의 좀 더 엄밀한 정의는 다음과 같다.
K번째 방정식에서 처음 (k-1)개 변수들의 계수는 모두 0이고 Xk의 계수는 0이 아닌 연립방정식을 삼각 연립방정식이라 한다.
이를 통해서 찾은 해는 다음과 같다.
근데 저 x1이나 x2를 일일히 적기가 여간 귀찮은게 아니다. 그래서 이것을 행렬로 나타내어 보면 어떨까?
이렇게 연립일차방정식의 계수를 가지고 만든 행렬을 계수행렬(coefficient matrix)이라고 한다. 여기서 열을 하나 더 추가해 저 연립방정식에 우변에 있는 수를 추가하여 새로운 행렬을 만들 수 있다.
이 행렬을 확대계수행렬(augumented matrix)이라고 한다. 여기서 기존 계수행렬을 A행렬이라고 하고 우변에 있는 수들의 행렬을 B라고 하면 확대계수행렬의 표기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2.가우스 소거법
위의 확대계수행렬로 일차 연립 방정식을 매우 쉽게 풀 수 있다. 이때 다음 3가지 조작을 통해서 계수행렬을 삼각행렬로 만들어 주는것이 포인트이다.
(보통 상삼각행렬 꼴로 만든다.)
1. 확대계수 행렬의 행은 바꾸어 놓을 수 있다.
2. 한 행에 0이 아닌 실수를 곱한다.
3. 한행에 다른 실수배를 한 것을 다른 행에 더한다.
가우스 소거법으로 위의 확대 계수행렬을 풀면 다음과 같다.
