선형변환 혹은 일차변환은 선형 결합을 보존하는 두 벡터 공간 사이의 함수이다. 만약 V와 W가 벡터 공간이고 V에 있는 각 벡터를 W에 있는 유일한 한 벡터와 대응시키는 함수를 T라고 하면 T:V->W로 표시한다. 좀 더 파고들면 V에 속하는 벡터 v를 W에 속하는 w에 대응시키면 T(v)=w로 표기가 가능하다. 여기서 w는 상(image)라고 한다.

정리하면 다음과 같다.

선형변환의 주요 개념은 상(image)와 핵(kernel)으로 선형변환에 의하여 기저벡터들의 상 즉 어떤 기저벡터들이 선형변환에 의하여 변한 기저벡터가 구해지면 공간 내의 나머지 벡터들의 상들도 구할 수 있다. 핵은 T : V -> W에서 T에 의하여 영벡터로 보내지는 V의 모든 벡터들의 집합으로 ker(T)라고 표시한다. 또한 T에 의하여 변환된 V의 상들의 집합을 T의 치역(range)이라 하고 R(T)로 표시한다. 이때 선형변환 T의 핵(ker(T))은 V의 부분공간이며 T의 치역(R(T))은 W의 부분공간이다. 정리하면  T : V -> W 가 선형변환이면,

• 핵이란 T에 의하여 0으로 보내지는 V의 모든 벡터 집합이다.
• 상이란 T(v)=w에서 W에 속한 벡터 w를 말한다.
• 치역이란 T에 의하여 V에 속한 벡터들이 변환된 벡터들의 집합을 말한다
• T의 핵은 V의 부분공간이다.
• T의 치역은 W의 부분공간이다.

여기서 선형변환 함수 T를 행렬로 바꾼 A를 표현행렬이라고 한다.

위에서는 유클리드 공간 즉 벡터공간 R에 대해서만 다루었다. 그런데 선형변환의 행렬 표현은 이런 유클리드 공간 말고도 다른 벡터공간에서도 통용될 수 있다. 증명을 하기 위해서는 순서 기저(ordered basis)의 개념이 필요하다. 

예를 들어 일반적으로 V의 기저를 {V1,V2} 라고 할 때 순서기저가 아닐시 {V1,V2}={V2,V1}은 같은 기저이지만 순서 기저일 경우 같지 않게 된다.