상위문서 : 미적분학
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목차
1. 개요
2. 설명
3. 대략적인 정의
4. 엡실론-델타 논법
1.개요
어떤 수는 아니지만 그 수에 한없이 접근해 있는 수 가장 기초적인 개념으로 대략적인 예를 들면 함수에서 a와 같지는 않지만 x를
a에 충분히 가까이 접근(a의 양쪽 방향에서) 시킴으로써 f(x)의 값을 L에
가깝게(L에 원하는 만큼 가깝게) 만들 수 있다면 다음과
같은 기호로 쓴다.
그리고 이를 x가 a에 접근할 때 f(x)의 극한은 L이다.
2.설명
3. 대략적인 정의
ㅇ
4. 엡실론-델타 논법
다음과 같은 함수를 생각해보자
(x-1)^2 / (x-1) 여기서 x->1에서의 극한을 구해보면 x-1->0 이 나온다 이 값을 함수에 넣었다간 0을 0으로 나눈셈이 된다. 근대 극한의 정의에 따르면 x-1->0는 0에 한없이 접근해 있는 수일 뿐 0은 아니다 즉 약분을 통해 (x-1)이 나오며 최종적으로는 x-1->0이므로 이 함수의 극한값은 0이 나온다.... 이상하지 않은가? 앞에서는 0이 아니라고 약분까지 했는데 뒤에서 최종적인 값을 도출할 때는 0이라고 했다. 이런 논리적 모순을 해결하기 위해 혜성처럼 등장한 것이 엡실론-델타 논법이다.
이 논법은 해석학의 근간이 되는 매우 중요한 논법이다. 고전물리학의 F=ma와 같은 위상이라 생각해도 좋다.쉽게 이해하기 위해 예를 들어보자
f(x)는 3을 제외한 모든 실수에서 2x-1이며 오직 3에서만 6이라는 값을 가진다고 하자. 직관적으로 lim x->3이면 f(x)가 5에 가까이 접근하는 수를 가지게 되고 그 극한값은 5라는 것은 자명하다. 여기서 좀 더 들어가 f(x)가 5로부터 0.1보다 더 작게 차이가 나기 위해서는 x가 3에 얼마나 접근해 있어야 할까?
x와 3사이의 거리는 Ix-3I이고 f(x)와 5 사이의 거리는 If(x)-5I 이다.
따라서 다음 조건을 만족하는 δ를 구하는 것이므로 x가 3이 아니고 Ix-3I<δ일 때 If(x)-5I<0.1
여기서 저 위의 식에서 x가 3이 아니고를 줄이기 위해 Ix-3I>0 이라고 하면 식은 다음과 같다.
0<Ix-3I<δ일 때 If(x)-5I<0.1
따라서 δ=0.1/2= 0.05 이면 다음과 같이 된다.
If(x)-5I=I(2x-1)-5I=I2x-6I=2Ix-3I<2(0.05)=0.1
즉 0<Ix-3I<0.05 일 때 If(x)-5I < 0.1
